Sur les expressions numériques

Sur les expressions numériques

• I Expression sans parenthèses
  • I-1 Avec des additions et des soustractions
  • I-2 Priorité de la multiplication
• II Expression avec parenthèses
• III Simplification d'écriture
• IV Distributivité
  • IV-1 Égalités de la distributivité
  • IV-2 Développer
• V Distributivité et calcul mental

Sur les expressions numériques.

I Expression sans parenthèses

II Expression avec parenthèses

III Simplification d'écriture

IV Distributivité

V Distributivité et calcul mental

I Expression sans parenthèses

• I Expression sans parenthèses
  • I-1 Avec des additions et des soustractions
  • I-2 Priorité de la multiplication
• II Expression avec parenthèses
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• IV Distributivité
  • IV-1 Égalités de la distributivité
  • IV-2 Développer
• V Distributivité et calcul mental

I-1 Avec des additions et des soustractions

I-2 Priorité de la multiplication

Sur les expressions numériques → I Expression sans parenthèses

I-1 Avec des additions et des soustractions

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• IV Distributivité
  • IV-1 Égalités de la distributivité
  • IV-2 Développer
• V Distributivité et calcul mental

Le but de ce chapitre est de se rappeler les règles essentielles pour calculer des expressions numériques.

Proposition [Enchaînement d'opérations, additions, soustractions]

Dans un enchaînement d'additions et de soustractions sans parenthèses, on effectue les calculs de gauche à droite.

Exemple [Calculons l'expression $A$]

$A$	=	$72.7+37.6+7.1-109.3$
$A$	=	$110.3+7.1-109.3$
$A$	=	$117.4-109.3$
$A$	=	$8.1$

Sur les expressions numériques → I Expression sans parenthèses → I-1 Avec des additions et des soustractions

I-2 Priorité de la multiplication

• I Expression sans parenthèses
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Proposition [Priorité de la multiplication]

Dans un enchaînement sans parenthèses, d'additions, de soustractions et de multiplications, on commence par effectuer les multiplications.

Exemple [Calculons l'expression $A$]

$A$	=	$117+5\times 15$
$A$	=	$117+75$
$A$	=	$192$

Exemple [Calculons l'expression $A$]

$A$	=	$31\times 14+9\times 2$
$A$	=	$434+18$
$A$	=	$452$

Théorème

La multiplication est prioritaire sur l'addition et sur la soustraction.

Sur les expressions numériques → I Expression sans parenthèses → I-2 Priorité de la multiplication

II Expression avec parenthèses

• I Expression sans parenthèses
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  • I-2 Priorité de la multiplication
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• IV Distributivité
  • IV-1 Égalités de la distributivité
  • IV-2 Développer
• V Distributivité et calcul mental

Proposition [Priorité des parenthèses]

Pour calculer une expression avec parenthèses, on effectue d'abord les calculs entre parenthèses, en commençant par les parenthèses les plus intérieures.

Quelques exemples commentés pour bien comprendre la propriété !

Exemple [Calculons l'expression $A$]

$A$	=	$45+(26-9)\times 2$
$A$	=	$45+17\times 2$
$A$	=	$45+34$
$A$	=	$79$

Remarque

Comme pour le calcul de $A$, lorsqu'on retrouve une expression sans parenthèses, on applique la règle de priorité de la multiplication ;

Exemple [Calculons l'expression $B$]

$B$	=	$10\times (9+(7-7))$
$B$	=	$10\times (9+0)$
$B$	=	$10\times 9$
$B$	=	$90$

Remarque

Comme pour le calcul de $B$, remarquer que l'on commence par les parenthèses les plus intérieures ;

Exemple [Calculons l'expression $C$]

$C$	=	$170+(34+10\times 2)\times 3$
$C$	=	$170+(34+20)\times 3$
$C$	=	$170+(54)\times 3$
$C$	=	$170+162$
$C$	=	$332$

Remarque

Comme pour le calcul de $C$, même à l'intérieur des parenthèses les règles 1 et 2 restent valables.

Sur les expressions numériques → II Expression avec parenthèses

III Simplification d'écriture

• I Expression sans parenthèses
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Proposition [Absence du signe de la multiplication]

Le signe de multiplication ( ) peut être supprimé devant une lettre ou devant une parenthèse.

Exemples

1. Le produit $13\times h$ peut s'écrire $13h$ ;
2. le produit $h\times u$ peut s'écrire $hu$ ;
3. le produit $9\times (u+13)$ peut s'écrire $9(u+13)$. On dit $9$ facteur de $u+13$ ;
4. le produit $13\times (h-9)$ peut s'écrire $13(h-9)$. On dit $13$ facteur de $h-9$;
5. le produit $h\times h$ peut s'écrire $h^2$. On dit $h$ au carré. De même on a $13\times 13={13}^2$ ce qui vaut $169$.

Remarque [Attention]

Le signe est obligatoire lorsque son absence entraîne une confusion. En effet, $13\times 9$ ne s'écrit pas $139$ puisque cela vaut $117$.

Sur les expressions numériques → III Simplification d'écriture

IV Distributivité

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IV-1 Égalités de la distributivité

IV-2 Développer, factoriser

Sur les expressions numériques → IV Distributivité

IV-1 Égalités de la distributivité

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  • IV-2 Développer
• V Distributivité et calcul mental

Proposition [Distributivité]

Les égalités ci-dessous sont vraies pour tous les nombres $k$, $a$ et $b$. On dit que la multiplication est distributive par rapport à l'addition et à la soustraction.

$\begin{array}{ccc}k(a+b)& =& ka+kb\\ k(a-b)& =& ka-kb\end{array}$

$\begin{array}{ccc}(a+b)k& =& ak+bk\\ (a-b)k& =& ak-bk\end{array}$

Voyons sur quelques exemples comment utiliser ces propriétés.

Exemple [Calculer $A$]

$A$	=	$22\times (26+2)$
$A$	=	$22\times 26+22\times 2$
$A$	=	$572+44$
$A$	=	$616$
$A$	=	$22\times (26+2)$
$A$	=	$22\times 28$
$A$	=	$616$

Exemple [Calculer $B$]

$B$	=	$10\times 9+1\times 9$
$B$	=	$(10+1)\times 9$
$B$	=	$11\times 9$
$B$	=	$99$
$B$	=	$10\times 9+1\times 9$
$B$	=	$90+9$
$B$	=	$99$

Un côté du rectangle rouge mesure $a$. Le côté commun avec le rectangle bleu mesure $k$. L'autre côté du rectangle bleu mesure $b$.
Si on détermine l'aire du grand rectangle (formé par les deux rectangles colorés) de deux manières différentes, on démontre l'égalité. On peut considérer que les côtés du grand rectangle sont $k$ et $a+b$.

Sur les expressions numériques → IV Distributivité → IV-1 Égalités de la distributivité

IV-2 Développer, factoriser

• I Expression sans parenthèses
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• IV Distributivité
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  • IV-2 Développer
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On peut appliquer les égalités de la distributivité de deux façons :

1. pour développer :
   
   $3\times (20+11)$ = $3\times 20+3\times 11$
2. pour factoriser :
   
   $2\times 13-2\times 11=2\times (13-11)$

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V Distributivité et calcul mental

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• III Simplification d'écriture
• IV Distributivité
  • IV-1 Égalités de la distributivité
  • IV-2 Développer
• V Distributivité et calcul mental

Quand on sait bien appliquer les règles de distributivité et de factorisation, on peut les utiliser pour simplifier certains calculs comme le montrent les exemples ci-après.

Exemple [Calculons $A$]

$A$	=	$252\times 9$
$A$	=	$252\times (10-1)$
$A$	=	$252\times 10-252\times 1$
$A$	=	$2520-252$
$A$	=	$2772$

Exemple [Calculons $B$]

$B$	=	$2\times 2483+8\times 2483$
$B$	=	$2483\times (8+2)$
$B$	=	$2483\times 10$
$B$	=	$24830$

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• Description: document sur les expressions numériques. interactive exercises, online calculators and plotters, mathematical recreation and games
• Keywords: interactive mathematics, interactive math, server side interactivity, algebra, expression numérique, calculation, factorization, simplification